《投資管理基礎(chǔ)》第一章第四節(jié)-2

隨機變量的數(shù)字特征和描述性統(tǒng)計量

（1）描述性統(tǒng)計量的含義

（2）隨機變量的數(shù)字特征

1.描述性統(tǒng)計量的含義

在現(xiàn)實世界里我們面對的隨機變量通常是未知分布的，無法直接求得其數(shù)字特征，因而我們采取抽樣的方法來估計它們，即選擇X的一組樣本X₁，...，X_n，然后構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)g(X₁，...，X_n)來作為X分布的數(shù)字特征的近似值，這樣的g(X₁，...，X_n) 便是描述性統(tǒng)計量。

2.隨機變量的數(shù)字特征

常用的一些數(shù)字特征和它們的描述性統(tǒng)計量有期望(均值)、方差與標準差、分位數(shù)、中位數(shù)。

（1）期望（均值）

隨機變量x的期望(或稱均值，記做E(X))衡量了X取值的平均水平；它是對X所有可能取值按照其發(fā)生概率大小加權(quán)后得到的平均值。

在X的分布未知時，我們用抽取樣本x₁，...，x_n的算術(shù)平均數(shù)(也稱樣本均值).

作為E(X)的估計值。在計算基金的期望回報率時，我們可以用一定時間的歷史平均回報率，或者采用數(shù)學模型，對未來回報率的可能分布做出預測。

利用隨機變量期望的線性性質(zhì)，我們可以計算以任意比例分配資金構(gòu)造資產(chǎn)組合的總體期望收益率。由n項資產(chǎn)A_i，...，A_n，構(gòu)成資產(chǎn)組合A=W_iA_i+...+W_nA_n，其中W_i為投資于資產(chǎn)A_i的資金所占總資金的比例，

若A_i的期望收益率為r_i，則資產(chǎn)組合A的期望收益率，r為

r+w₁r₁+...+w_nr_n

（2）方差與標準差

很多情況下，我們不僅需要了解數(shù)據(jù)的期望值和平均水平，還要了解這組數(shù)據(jù)分布的離散程度。分布越散，其波動性和不可預測性也就越強。尤其對于投資者而言，他們不僅關(guān)心投資的期望收益率，也關(guān)心實際收益率相對預期的收益率可能有多大的偏差，即該投資回報的風險水平。對于投資收益率r，我們用方差(σ²)或者標準差(σ)來衡量它偏離期望值的程度。其中(σ²) =E[(r-Er)²]，它的數(shù)值越大，表示收益率r偏離期望收益率 Er=r的程度越大，反之亦然。

假設從歷史數(shù)據(jù)或者模型模擬得出收益率，r的離散分布，其方差和標準差計算公式為：

對于，r分布未知的情況，我們可以抽取其樣本，然后分別用樣本方差

與樣本標準差

來估計(σ²) 與σ。

（3）分位數(shù)

分位數(shù)通常被用來研究隨機變量X以特定概率(或者一組數(shù)據(jù)以特定比例)取得大于等于(或小于等于)某個值的情況。直接計算X的分位數(shù)比較困難，尤其是X分布未知時；所以我們用樣本x₁，...，x_n，來估計分位數(shù)。首先，我們將樣本按照數(shù)值從小到大排列成X₁，...，X_n，然后用樣本中第nα大的數(shù)作為上α分位數(shù)X_α，用樣本中第nα小的數(shù)作為下α分位數(shù)X_α *。如果nα不是整數(shù)，我們就取nα相鄰兩個整數(shù)位置的樣本值的平均數(shù)作為分位數(shù)。

（4）中位數(shù)

中位數(shù)是用來衡量數(shù)據(jù)取值的中等水平或一般水平的數(shù)值。對于隨機變量X來說，它的中位數(shù)就是上50%分位數(shù)x_50%，這意味著x的取值大于其中位數(shù)和小于其中位數(shù)的概率各為50%。對于一組數(shù)據(jù)來說，中位數(shù)就是大小處于正中間位置的那個數(shù)值。由于中位數(shù)能夠代表一般水平，在基金投資管理領(lǐng)域中，我們經(jīng)常應用中位數(shù)來作為評價基金經(jīng)理業(yè)績的基準?；鸾?jīng)理的個人回報也往往取決于其管理基金的表現(xiàn)相對于中位數(shù)基準有多好。與另一個經(jīng)常用來反映數(shù)據(jù)一般水平的統(tǒng)計量——均值相比，中位數(shù)的評價結(jié)果往往更為合理和貼近實際。

[單選題] 

1、離散程度是由（ ）表示。

A.方差

B.極差

C.中位數(shù)

D.均值

正確答案是：A

解析

對于投資收益率，可以用方差或者標準差來衡量它偏離期望值的程度也就是離散程度。

[單選題]

2、數(shù)據(jù)分布越散，其波動性和不可預測性（ ）。

A.越強

B.越弱

C.沒有影響

D.視情況而定

正確答案是：A

解析

很多情況下，我們不僅需要了解數(shù)據(jù)的期望值和平均水平，還要了解這組數(shù)據(jù)分布的離散程度。分布越散，其波動性和不可預測性也就越強。

[單選題] 

3、在對數(shù)據(jù)集中趨勢的測度中，適用于偏斜分布的數(shù)值型數(shù)據(jù)的是（ ）。

A.均值

B.標準差

C.中位數(shù)

D.方差

正確答案是：C

解析

中位數(shù)是用來衡量數(shù)據(jù)取值的中等水平或一般水平的數(shù)值。中位數(shù)能夠免疫極端值的影響，較好地反映投資策略的真實水平，尤其適用于收入這類偏斜分布的數(shù)值型數(shù)據(jù)；標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度，平均數(shù)相同的，標準差未必相同；方差的作用和標準差一樣。