化工工程師
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首頁(yè) 化工工程師 題庫(kù) 正文
  • 單選題 已知函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（0，0）的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且， 則（　?。?。
  • A 、點(diǎn)（0，0）不是f（x，y）的極值點(diǎn)
  • B 、點(diǎn)（0，0）是f（x，y）的極大值點(diǎn)
  • C 、點(diǎn)（0，0）是f（x，y）的極小值點(diǎn)
  • D 、根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)（0，0）是否為f（x，y）的極值點(diǎn)

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參考答案

【正確答案：A】

由題設(shè)，容易推知f（0，0）=0，因此點(diǎn)（0，0）是否為f（x，y）的極值點(diǎn)，關(guān)鍵看在點(diǎn)（0，0）的充分小的鄰域內(nèi)f（x，y）是恒大于零、恒小于零還是變號(hào)。

由知，分子的極限必為零，從而有f（0，0）=0，且
f（x，y）-xy≈（x2+y2）2（｜x｜，｜y｜充分小時(shí)），于是f（x，y）-f（0，0）≈xy+（x2+y2）2。
可見(jiàn)當(dāng)y=x且｜x｜充分小時(shí)， f（x，y）-f（0，0）≈x2+4x4＞0；
而當(dāng)y=-x且｜x｜充分小時(shí)， f（x，y）-f（0，0）≈-x2+4x4＜0。
故點(diǎn)（0，0）不是f（x，y）的極值點(diǎn)。

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