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內(nèi)插法計(jì)算公式是什么？

幫考網(wǎng)校2020-07-07 18:17:47

內(nèi)插法是一種通過(guò)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)估算未知數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法。其計(jì)算公式取決于所使用的具體內(nèi)插方法，常見(jiàn)的內(nèi)插方法包括拉格朗日插值、牛頓插值、分段線性插值等。以下是這些方法的基本公式：

1. 拉格朗日插值公式：

$$f(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x)$$

其中，$n$ 是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量，$x$ 是待估算的未知數(shù)據(jù)點(diǎn)，$y_i$ 是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的函數(shù)值，$L_i(x)$ 是拉格朗日基函數(shù)：

$$L_i(x) = \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

2. 牛頓插值公式：

$$f(x) = \sum_{i=0}^n f[x_0,x_1,\cdots,x_i] \prod_{j=0}^{i-1} (x-x_j)$$

其中，$f[x_0,x_1,\cdots,x_i]$ 是牛頓插值系數(shù)，可以通過(guò)遞推公式計(jì)算：

$$f[x_i] = y_i$$

$$f[x_i,x_{i+1},\cdots,x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1},\cdots,x_{i+k}] - f[x_i,\cdots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}$$

3. 分段線性插值公式：

$$f(x) = \begin{cases} y_0 + \frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0), & x_0 \leq x \leq x_1 \\ y_1 + \frac{x-x_1}{x_2-x_1}(y_2-y_1), & x_1 \leq x \leq x_2 \\ \cdots & \\ y_{n-1} + \frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}(y_n-y_{n-1}), & x_{n-1} \leq x \leq x_n \end{cases}$$

其中，$n$ 是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量，$x$ 是待估算的未知數(shù)據(jù)點(diǎn)，$y_i$ 是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的函數(shù)值，$x_i$ 是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)。