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聲波的傳播和衰減

一、聲波在空氣中的傳播和衰減

1、聲波方程

聲振動(dòng)必須滿足三個(gè)基本的物理定律，即牛頓第一定律、質(zhì)量守恒定律以及描述壓強(qiáng)、溫度、體積等狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程。應(yīng)用這三個(gè)定律可以推導(dǎo)出聲波傳播中的連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程和物態(tài)方程，并進(jìn)一步得到波動(dòng)方程和對(duì)時(shí)間空間坐標(biāo)的偏微分方程。并作如下假設(shè)：①媒質(zhì)為理想流體，即媒質(zhì)中不存在黏滯性，聲波傳播時(shí)沒(méi)有能量損失;②沒(méi)有聲擾動(dòng)時(shí)，媒質(zhì)在宏觀上是靜止的、均勻的，因此媒質(zhì)中靜壓強(qiáng) 、靜態(tài)密度 都是常數(shù);③聲波傳播時(shí)，媒質(zhì)中稠密和稀疏的過(guò)程是絕熱的;④假設(shè)是小振幅聲波。

上述假設(shè)稱為理想流體媒質(zhì)小振幅假定。可以分別推導(dǎo)連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程和物態(tài)方程。

(1)連續(xù)性方程：是物質(zhì)不滅定律在流體運(yùn)動(dòng)描述中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。對(duì)體積元 ，單位時(shí)間流入 的質(zhì)量與流出 的質(zhì)量之差等于該體積元內(nèi)質(zhì)量的變化率。由此可得體積元 在x、y、z方向上質(zhì)量的增量。

(2)運(yùn)動(dòng)方程

運(yùn)動(dòng)方程是聲壓對(duì)于距離的梯度等于媒質(zhì)密度和質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度乘積的負(fù)值。在聲場(chǎng)中取一體積元 ，當(dāng)有聲波作用于體積元上，各方向的壓強(qiáng)將發(fā)生變化。設(shè)體積元在靜止時(shí)的壓強(qiáng)為 ，密度為 ，聲波產(chǎn)生的瞬時(shí)聲壓為 ，因體積元足夠小，可認(rèn)為作用在各面的壓力均勻。由于是小振幅聲波，其密度的變化可忽略，即可得聲波在這三個(gè)方向產(chǎn)生的加速度為——瞬時(shí)聲壓，Pa ——質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度在三個(gè)方向上的分量。

(3)物態(tài)方程

媒質(zhì)在聲波作用下，引起壓縮、膨脹的交替變化，媒質(zhì)的密度和壓強(qiáng)都發(fā)生了變化，即媒質(zhì)的狀態(tài)發(fā)生了變化。聲波傳播時(shí)，理想狀態(tài)下媒質(zhì)的密度發(fā)生變化，而沒(méi)有能量的損耗，即為等熵絕熱過(guò)程。

(4)波動(dòng)方程

聯(lián)立理想液體媒質(zhì)中三個(gè)基本方程：連續(xù)方程式、運(yùn)動(dòng)方程式和物態(tài)方程式，可推出理想液體媒質(zhì)中小振幅傳播的任意變量的波動(dòng)方程。

聲壓波動(dòng)方程： 密度波動(dòng)方程： 振速波動(dòng)方程： 波動(dòng)方程分別反映了聲壓、密度、振速隨時(shí)空變化的關(guān)系。

推導(dǎo)波動(dòng)方程時(shí)，只是從媒質(zhì)的基本特性出發(fā)，利用牛頓第二定律、物質(zhì)守恒定律和絕熱壓縮方程，并未涉及聲源及聲場(chǎng)的具體情況，因此波動(dòng)方程只反映聲波在媒質(zhì)傳播過(guò)程的一般物理特性。

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